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Zu Beginn der vorangegangenen Seite hatt ich die Frage gestellt,
wie viel Kuchen gekauft werden muss, wenn insgesamt 6 Kinder ein Stück Apfelkuchen haben wollen (1/12) und
5 Kinder ein Stück Käsekuchen (1/16). Die Aufgabe, die entstanden war lautete
6 5
-- + -- = ???
12 16
Wie die Brüche zustande kamen, hatte ich aber nicht erklärt, da dies in diesem Fall anschaulich klar war. Doch genau
dies soll uns zunächst jetzt beschäftigen.
An obiger Aufgabe lässt sich sofort die erste Regel erkennen: 6 Kinder wollten ein 1/12-Stück Apfelkuchen, d.h.
1 1 1 1 1 1 1 6
-- + -- + -- + -- + -- + -- = 6 * -- = --
12 12 12 12 12 12 12 12
Somit gilt folgende Definition:
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| Definition: Multiplizieren mit ganzer Zahl | |
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Ein Bruch z/n wird mit einer ganzen Zahl G multipliziert in dem man den Zähler mit dieser Zahl multipliziert und den Nenner beibehält:
z G * z
G * - = -----
n n
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Was passiert nun aber, wenn man an Stelle einer ganzen Zahl auch ein Bruch nimmt, z.B. 1/2? Dazu noch einmal zu obigem Beispiel:
1 6
6 * -- = --
12 12
Wir schreiben die ganze Zahl 6 als Bruch:
6 1 6 1
-- = 6 * -- = - * --
12 12 1 12
Dieses Umschreiben legt die Vermutung nahe, dass man bei dem Multiplizieren von Brüchen jeweils die Zähler und die Nenner miteinander multiplizieren muss.
Schauen wir uns dazu noch ein Beispiel an.
1 1 1 1 * 1 1
- * 1 = - * - = ----- = -
2 2 1 2 * 1 2
Am Ergbnis lässt sich die Bedeutung des Mutliplizieren mit einem Bruch erkennen: Das Ergebnis ist ein halber Kuchen.
Da am Anfang noch ein ganzer Kuchen 1 vorhanden war, muss 1/2 * halbieren bedeuten.
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| Definition | |
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Eine Zahl G wird halbiert, gedrittelt etc. in dem man sie mit 1/2, 1/3, etc. mutlipliziert.
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Wenn jetzt ein halber Kuchen genommen wird, also 1/2, und dieser halbe Kuchennochmals halbiert wird, so erhält man 2 Stücke.
Schreibt man das ganze als Rechnung auf so, so bedeutet halbieren 'mal 1/2' nehmen:
1 1 1 * 1 1
- * - = ----- = -
2 2 2 * 2 4
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| Definition: Multiplikation von Brüchen | |
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Zwei Brüche z1/n1 und z2/n2 werden miteinander multipliziert, in dem man ihre Zähler miteinander multipliziert und ihre Nenner miteinander multipliziert:
z1 z2 z1 * z2
- * -- = -------
n1 n2 n1 * n2
Gemischte Zahlen können nicht direkt miteinander multipliziert werden, sondern müssen erst in unechte Brüche umgewandelt werden. Das Ergebnis wird dann aber wieder als gemischter Bruch dargestellt.
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Tipp: Bevor die Produkte im Zähler und Nenner des Ergebnisses berechnet werden, sollte der Bruch gekürzt werden. So erspart man sich zum Einen langen Multiplikationen und zum Anderen das Kürzen von zwei großen Zahlen im Ergebnis.
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| | Merkregel | |
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| | Wird eine Zahl mit einer ganzen Zahl (z.b. 3,17,20) multipliziert, so wird die ursprüngliche Zahl größer.
Wird eine Zahl mit einer echten Bruch (z.b. 1/3,3/5,17/38) multipliziert, so wird die ursprüngliche Zahl kleiner.
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Aufgaben zum Multiplizieren von Brüchen |
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Nach dem die ganze Zeit von Kuchen gesprochen wurde, sollen nun die Getränke berücksichtigt werden.
Ihr habt eine Kiste mit Limonade in 1,5l (1_1/2l) Flaschen. Wieviel Gläser mit 1/4 Liter Inhalt können befüllt werden? Dazu folgende Rechnung:
1 1 3 1 6 1
1- : - = - : - = - : -
2 4 2 4 4 4
Nachdem die Brüche nennergleich gemacht wurden, reicht es jetzt die Zähler zu dividieren (Hinweis: Definition des Bruchs).
1 1 3 1 6 1
1- : - = - : - = - : - = 6 : 1 = 6
2 4 2 4 4 4
Man kann also 6 Gläser befüllen.
Dieses Verfahren lässt sich auch an anderen Divisionen von Brüchen anwenden:
2 5 14 15 14
- : - = -- : -- = 14 : 15 = --
3 7 21 21 15
Die Zahlen 14 und 15 lassen sich auch direkt aus den Zählern und Nennern der Ausgangsbrüche berechnen:
2 5 14 15 14 2 * 7
- : - = -- : -- = 14 : 15 = -- = -----
3 7 21 21 15 3 * 5
Vergleicht man den letzten Bruch, so lässt sich erkennen, das Dividieren analog zum Multiplizieren abläuft, wenn man den beim zweiten Bruch (Divisor) den Zähler und den Nenner vertauscht.
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| Definition: Kehrbruch | |
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Der Kehrbruch des Bruchs z/n lautet n/z:
z n
- = -
n z
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Dann lässt sich formulieren:
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| Definition: Division von Brüchen | |
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Durch einen Bruch z2/n2 wird dividiert, in dem man mit seinem Kehrbruch n2/z2 multipliziert:
z1 z2 z1 n2 z1 * n2
- : -- = -- * -- = -------
n1 n2 n1 z2 n1 * z2
Gemischte Zahlen können nicht direkt miteinander dividiert werden, sondern müssen erst in unechte Brüche umgewandelt werden. Das Ergebnis wird dann aber wieder als gemischter Bruch dargestellt.
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| | Merkregel | |
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| | Wird eine Zahl durch eine ganzen Zahl (z.b. 3,17,20) dividiert, so wird die ursprüngliche Zahl kleiner.
Wird eine Zahl durch einen echten Bruch (z.b. 1/3,3/5,17/38) dividiert, so wird die ursprüngliche Zahl größer. | |
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| | Merkregel Doppelbruch | |
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An Stelle von
z1 z2
- : --
n1 n2
kann man auch schreiben:
z1
--
z1 z2 n1
- : -- = ------ <- Hauptbruchstrich
n1 n2 z2
--
n2
Beim Schreiben muss darauf geachtet werden, dass der Hauptbruchsstrich immer auf Höhe des Gleichheitszeichens und länger als die übrigen Bruchstriche ist.
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