Definition: Zufallsexperiment

Ein Zufallsexperiment ist eine Experiment, dessen Ausgang nicht vorhersagbar ist (Wüfeln, Roulette, Ziehen von Kugeln aus einer Urne).

Die N Ausgänge eines Zufallsexperiment fasst man in der Ergebnismenge Ω={ω_i mit i∈{1,...,N}} zusammen. Beim Würfeln ist Ω={1,2,3,4,5,6} und die Mächtigkeit von Ω, also die Anzahl der Elemente |Ω| = 6.

Meist ist jedoch nicht die Menge der Ergebnisse interessant sonder die Ereignismenge. Diese Menge ist immer mächtiger oder gleich der Menge Ω. Als Beispiel könnte man hier nennen: M_Ereignis={{1};{2};{3};{4};{5};{6};{1,3,5};{2,4,6};...}.

• Elementarereignis: Die Ereignisse {1},{2},{3},{4},{5} und {6} nennt man Elementarereignis, da sie identisch mit den möglichen Ausgängen des Experiments sind.
• Sicheres Ereignis: Ω, da das Experiment ja immer enden muss.

• Unmögliches Ereignis:	Ω	= ∅

Definition: Relative Häufigkeit

Ein Zufallsexperiment liefert k mögliche Ergebnisse. Jedes Ereignis A_i tritt mit der absoluten Häufigkeit n₁, n₂,...,n_i,...,n_k auf. Es gilt

mit i ∈ {1,..,k}.

Axiome

• 0 ≤ H_n(A) ≤1
  Die relativen Häufigkeiten sind Werte zwischen Null und Eins.
• H_n(Ω) = 1
  Das Zufallsexperiment endet immer (1=100%) mit einem Element aus der Ergebnismenge.
• H_n(A∪B) = H_n(A) + H_n(B), wenn A∩B = ∅
  Die relative Gesamthäufigkeit zweier Ereignisse die nicht gleichzeitig eintreten können, ist die Summe der Teilhäufigkeit.

Definition: Wahrscheinlichkeit P

Die Wahrscheinlichkeit P (engl.: probability) für das Eintreten des Ereignisses A ist der Grenzwert der relativen Häufigkeiten für viele Durchführungen:

Kolmogorov-Axiome

Da die Wahrscheinlichkeit der Grenzwert der relativen Häufigkeiten ist, werden die Axiome übernommen. Dieser Ansatz geht auf den russischen Mathematiker Kolmogorov (1903-1987, veröffentlicht 1933) zurück, weswegen diese Axiome Kolmogorov-Axiome heißen.

• 0 ≤ P(A) ≤1
  Die Wahrscheinlichkeit ist ein Wert zwischen Null und Eins. (A1)
• P(Ω) = 1
  Das Zufallsexperiment endet immer (1=100%) mit einem Element aus der Ergebnismenge. Da ist das Ergebnis dass ein Spielwürfel "brennt" kein gültiges Ergebnis und das Experiment muss wiederholt werden. (A2)
• P(A∪B) = P(A) + P(B), wenn A∩B = ∅
  Die relative Gesamthäufigkeit zweier Ereignisse die nicht gleichzeitig eintreten können, ist die Summe der Teilhäufigkeit. (A3)

Es ergeben sich folgende Folgerungen:

• P(∅) = 0;

• P(	A	) = 1 - P(A)

  Dies ist eine sehr wichtige Formel, da sich viele Wahrscheinlichkeiten leichter über das Gegenereignis errechnen lassen. Erkennbar sind solche Aufgaben oft an Formelierungen wie beispielsweise "mindestens", "höchstens", etc.
• P(A)≤P(B), wenn A⊆B.
• P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)
  Die Wahrscheinlichkeit, dass sowohl das Ereignis A als auch das Ereignis B eintritt, ist die Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten. Überschneiden sich die Ereignisse, so ist die Wahrscheinlichekit der Schnittmenge wieder zu entfernen.

Definition: Laplace-Experiment

Sind alle N Elementarereignisse ω_i eines Experiments gleichwahrscheinlich, so gilt:

Für ein beliebiges Ereignis A gilt:

Definition: Gleichverteilung

Sind alle N Elementarereignisse ω_i eines Experiments gleichwahrscheinlich, so spricht man von einer Gleichverteilung der Wahrscheinlichkeit.

Satz: Pfadregel

Im Baumdiagramm ist die Wahrscheinlichkeit eines Pfades gleichem dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten auf den Teilstrecken.

Beachte

• Mit Hilfe dieses Satzes lassen sich ein Vielzahl von mehrstufigen Zufallsexperimente schnell untersuchen.
• Die Ereignisse müssen unabhängig voneinander sein (beim Ziehen ohne Zurücklegen sind die Ereignisse nicht voneinander unabhängig, da sich nach dem ersten Ziehen die Ausganssituation geändert hat).
• Diesen Satz nennt man auch den speziellen Multiplikationssatz.